Cp и Cpk простыми словами: разброс процесса, формулы, пример расчёта и почему сначала нужна стабильность

Разброс: почему детали разные

Даже на исправном станке размеры деталей немного отличаются: инструмент изнашивается, станок прогревается, заготовки неодинаковы. ГОСТ Р ИСО 7870-2-2015 делит причины изменчивости на два вида.

• Случайные причины (их ещё называют общими) присутствуют всегда. Каждая даёт малую долю разброса, ни одна не главная. Убрать их можно только серьёзным изменением процесса.
• Особые причины — то, что процессу не присуще и что можно найти и устранить: неоднородный материал, поломка инструмента, неисправность оборудования или средства контроля, нарушение процедуры, смена условий.

Процесс статистически управляем (стабилен), если разброс вызван только случайными причинами. Только такой процесс предсказуем — и только для него индексы Cp и Cpk говорят о будущих деталях.

Cp: помещается ли разброс в допуск

Ширину разброса измеряют стандартным отклонением σ (сигма). Для нормального распределения почти все детали укладываются в 6σ — по три сигмы в каждую сторону от среднего. Индекс воспроизводимости Cp сравнивает с этой шириной поле допуска.

Cp = 1 — разброс ровно равен допуску, запаса нет. Cp = 2 — разброс занимает половину допуска. Но Cp ничего не знает о том, где стоит процесс: ГОСТ Р ИСО 7870-2 предупреждает, что при высоком Cp может быть любой процент выхода за границы.

Cpk: учитываем, где стоит среднее

Cpk считают отдельно до каждой границы и берут меньшее значение.

Если среднее точно в середине поля, Cpk = Cp. Чем ближе среднее к одной из границ, тем меньше Cpk, хотя разброс тот же.

Пример: восемь валов Ø20h9

По ГОСТ 25347-2013 для размеров свыше 18 до 30 мм поле h9 — 0 / −52 мкм: ВГД = 20,000 мм, НГД = 19,948 мм. Контролёр измерил 8 валов подряд, мм: 19,994; 19,986; 19,996; 19,984; 19,992; 19,988; 19,990; 19,990.

Удобно считать в отклонениях от 20,000 мм, в микрометрах: −6, −14, −4, −16, −8, −12, −10, −10.

1. Среднее: сумма −80, μ = −80 / 8 = −10 мкм (19,990 мм).
2. Отклонения от среднего: 4, −4, 6, −6, 2, −2, 0, 0. Сумма квадратов: 16 + 16 + 36 + 36 + 4 + 4 + 0 + 0 = 112.
3. Стандартное отклонение по выборке: s = √(112 / 7) = √16 = 4 мкм. Делят на n − 1 = 7, а не на 8.
4. Cp = 52 / (6 · 4) = 52 / 24 ≈ 2,17.
5. До верхней границы: (0 − (−10)) / (3 · 4) = 10 / 12 ≈ 0,83. До нижней: (−10 − (−52)) / 12 = 42 / 12 = 3,5.
6. Cpk = min(0,83; 3,5) = 0,83.

Вывод: разброс маленький, Cp с большим запасом. Но среднее прижато к верхней границе, Cpk меньше 1 — часть валов выйдет за 20,000 мм. Если сместить настройку на 16 мкм по диаметру в минус, среднее станет −26 мкм — середина поля, и Cpk сравняется с Cp: 26 / 12 ≈ 2,17.

Проверить себя можно в калькуляторе Cp и Cpk: он считает среднее, стандартное отклонение (тоже с делением на n − 1) и оба индекса по введённым замерам.

Сначала стабильность: контрольная карта

Контрольная карта Шухарта — график, на который по порядку наносят результаты небольших выборок из процесса (подгрупп), с центральной линией и контрольными границами. Границы считают по разбросу самого процесса, а не по допуску чертежа. Карта отвечает на один вопрос: есть ли в процессе особые причины.

Порядок по ГОСТ Р ИСО 7870-2-2015, как его пересказывает статья «Индексы Cp и Cpk»:

1. Отобрать 25 подгрупп по 4 или 5 деталей подряд, построить карты средних и размахов.
2. Если есть точки за контрольными границами, серии или тренды — процесс не управляем. Ищут и устраняют причину, индексы не считают.
3. Если карта показывает управляемое состояние минимум на 25 подгруппах — оценивают σ и считают Cp и Cpk.

Для контролёра отсюда правило: точка за контрольной границей — повод сообщить мастеру и технологу, даже если деталь ещё в допуске. Карта предупреждает о проблеме раньше, чем появится брак.

Сколько измерений нужно

• ГОСТ Р ИСО 7870-2 — 25 подгрупп по 4–5 деталей, то есть порядка 100–125 замеров, и управляемое состояние на всех 25 подгруппах.
• NIST считает оценку индекса надёжной примерно от 50 независимых значений.
• По 10–15 деталям получается лишь грубая оценка. Если стабильность не подтверждена, такой индекс по ГОСТ Р ИСО 22514-1 честнее называть Pp и Ppk — индексами пригодности: они описывают, что было, а не прогнозируют.

Ещё два условия. Формулы предполагают, что данные распределены нормально, — NIST подчёркивает это отдельно. И мерить нужно средством, разброс которого мал по сравнению с допуском: иначе в σ попадёт погрешность измерения и индекс будет занижен (выбор средства — в уроке об измерениях). Если деталь делают в многоместной оснастке или на нескольких шпинделях, в исследование берут детали с каждого гнезда и шпинделя — так требуют руководства для поставщиков, чтобы не скрыть проблему одного гнезда.

Какие значения требуют

Минимальные требования — предмет соглашения поставщика и потребителя. Порог, способ расчёта и объём исследования берут из договора или руководства своего заказчика.

Если Cpk мал

• Cp достаточен, Cpk мал — процесс смещён. Сдвинуть коррекцию на середину поля и проверить, не уходит ли размер по мере износа инструмента и прогрева станка.
• Мал сам Cp — разброс шире допуска. Искать источники: закрепление, инструмент, температура, заготовки, разные гнёзда оснастки — и само измерение.
• Быстро не исправить — проверять каждую деталь калибром или измерением, пока процесс не улучшат. ГОСТ Р ИСО 7870-2 при Cpk меньше 1 называет такие варианты: улучшать процесс, остановить выпуск, работать со сплошным контролем или пересмотреть требования.

Что проверить перед приёмкой

• Индекс посчитан по стабильному процессу: есть контрольная карта без точек за границами, или честно указано, что это Pp и Ppk.
• Данных достаточно, замеры подряд из одного процесса, без смешения гнёзд и станков.
• Средство измерения подходит по точности к допуску.
• Сравнивается Cpk, а не только Cp, и с порогом из требований заказчика.
• Если Cpk меньше требуемого — решение записано: центрирование, снижение разброса или сплошной контроль.