Индексы Cp и Cpk: формулы, пример расчёта, отличие от Pp и Ppk

Что показывают Cp и Cpk

ГОСТ Р ИСО 22514-1-2015 определяет индекс воспроизводимости Cp как отношение длины поля допуска к длине опорного интервала процесса в статистически управляемом состоянии. Для нормального распределения опорный интервал равен 6σ. Индекс Cpk — меньший из двух: до верхней и до нижней границы.

Cpk всегда не больше Cp; они равны, только когда среднее точно в середине поля. ГОСТ Р ИСО 7870-2-2015 отдельно предупреждает: Cp не учитывает положение процесса, и при высоком Cp может быть любой процент выхода за границы.

Сначала стабильность: карты Шухарта

По ГОСТ Р ИСО 7870-2-2015 процесс сначала приводят в статистически управляемое состояние: выявляют и устраняют особые причины изменчивости. Только после этого определяют воспроизводимость. Карты должны показывать управляемое состояние минимум на 25 подгруппах.

Порядок по рисунку 4 стандарта:

1. Отобрать 25 подгрупп по 4 или 5 деталей, построить карты средних и размахов.
2. Если есть точки за контрольными границами, серии, тренды — процесс не управляем: искать причины, а не считать индексы.
3. Если управляем — оценить σ по картам (через средний размах или среднее стандартное отклонение подгрупп) и вычислить Cpk.

Стандарт называет Cp = 1 границей воспроизводимости, а 1,33 — минимально полностью приемлемым значением на практике: выборки всегда колеблются, и идеально стабильных процессов нет. При Cpk < 1 варианты по тому же рисунку: улучшать процесс, остановить выпуск, работать со сплошным контролем или пересмотреть требования.

Cp, Cpk и Pp, Ppk

ГОСТ Р ИСО 22514-1-2015 разделяет два набора индексов по одному признаку — подтверждено ли статистически управляемое состояние:

Формулы у пар одинаковые по виду, разница в том, какому разбросу можно доверять. Для Pp стандарт прямо отмечает, что оценка может включать изменчивость от особых причин, диапазон которых неизвестен. Поэтому Ppk описывает, что было, а Cpk позволяет прогнозировать.

Какие значения требуют заказчики

Минимальные требования, по ГОСТ Р ИСО 7870-2-2015, — предмет соглашения поставщика и потребителя. Пример из открытого руководства для поставщиков Enerpac (2021):

Там же: исследование — не меньше 25 подгрупп и 100 значений подряд из представительной партии, а для многоместной оснастки — отдельно по каждому гнезду или шпинделю. Руководство Nemak для первичного исследования по 100 деталям требует Ppk не ниже 1,67 для особых характеристик и 1,33 для остальных, а расчёт ведёт по руководству AIAG по SPC. Тексты AIAG платные, поэтому конкретные пороги и способ расчёта берите из договора и руководства своего заказчика.

Пример расчёта

Вал Ø20h9: по ГОСТ 25347-2013 для размеров свыше 18 до 30 мм поле h9 — 0 / −52 мкм, то есть ВГД = 20,000 мм, НГД = 19,948 мм. Измерены 12 валов подряд:

Удобнее считать в отклонениях от 20,000 мм, в микрометрах: −8, −12, −15, −19, −10, −14, −21, −13, −9, −17, −16, −14.

• Сумма: −168 мкм, среднее μ = −168 / 12 = −14 мкм (19,986 мм).
• Отклонения от среднего: 6, 2, −1, −5, 4, 0, −7, 1, 5, −3, −2, 0; сумма квадратов 36 + 4 + 1 + 25 + 16 + 0 + 49 + 1 + 25 + 9 + 4 + 0 = 170.
• σ ≈ s = √(170 / 11) = √15,45 ≈ 3,93 мкм.
• Cp = 52 / (6 · 3,93) = 52 / 23,6 ≈ 2,2.
• До верхней границы: (0 − (−14)) / (3 · 3,93) = 14 / 11,8 ≈ 1,19; до нижней: (−14 − (−52)) / 11,8 = 38 / 11,8 ≈ 3,22.
• Cpk = min(1,19; 3,22) = 1,19.

Проверка другим способом: сумма квадратов значений 2522, (2522 − 168² / 12) / 11 = (2522 − 2352) / 11 = 15,45 — то же s. Через k по NIST: k = |−26 − (−14)| / 26 ≈ 0,46; Cpk = 2,2 · (1 − 0,46) ≈ 1,19.

Вывод: разброс маленький, Cp с запасом, но среднее прижато к верхней границе, и Cpk ниже 1,33. Если сместить настройку на 12 мкм по диаметру в минус, среднее станет −26 мкм — середина поля — и Cpk сравняется с Cp.

Если Cpk мал

• Cp достаточен, Cpk мал — процесс смещён. Переставить коррекцию инструмента на середину поля, проверить, не уходит ли размер по мере износа пластины и прогрева станка.
• Мал сам Cp — разброс шире допуска. Искать источники: жёсткость закрепления, износ инструмента, температура, разнородность заготовок, разные гнёзда оснастки. И обязательно — само измерение: если средство измерения даёт разброс, сравнимый с допуском, индекс будет занижен. Выбор средства по допуску — в статье «Измерительный инструмент».
• Быстро не исправить — сплошной контроль калибрами или измерением, пока процесс не улучшат. Для серийного контроля годны гладкие калибры.

Доля брака в ppm

Для нормального распределения индекс переводится в долю деталей за границей. NIST приводит для процесса по центру поля:

Для смещённого процесса считают по ближайшей границе: z = 3 · Cpk, доля — хвост нормального распределения за z. В примере z = 14 / 3,93 ≈ 3,56, это около 185 ppm за верхней границей. После центрирования z ≈ 6,6 с каждой стороны — доля пренебрежимо мала. Такой прогноз верен, только пока процесс стабилен и распределение близко к нормальному; NIST отдельно подчёркивает, что Cp и Cpk предполагают нормальность данных.